Matek: Geometria

Geometriai transzformációnak nevezzük az olyan függvényt, amely egy ponthalmaz minden pontjának egy-egy pontot feleltet meg.

Ha egy geometriai transzformációnál tetszőlegesen választott két pont távolsága megegyezik a képpontjaik távolságával, akkor a transzformáció távolságtartó.

A távolságtartó geometriai transzformációt egybevágósági transzformációnak nevezzük.
Fajtái:
   • identitás (helyben hagyás)
   • eltolás
   • pont körüli elforgatás
   • tengelyes tükrözés
   • középpontos tükrözés
   • csúsztatva tükrözés

Két alakzat egybevágó, ha van olyan egybevágósági transzformáció, amely egyiket a másiknak felelteti meg.

Két háromszög egybevágó, ha...
   (1) ... megfelelő oldalaik hossza egyenlő;
   (2) ... két-két oldaluk megegyezik, és a két oldaluk által bezárt szögük mértéke megegyezik;
   (3) ... egy-egy oldaluk hossza egyenlő, és a két oldaluk által közbezárt szögük mértéke megyegyezik;
   (4) ... két-két megfelelő oldaluk hossza megegyezik, és a hosszabbik oldallal szemközti szögük mértéke megegyezik.

Két kör egybevágó, ha sugaraik hossza egyenlő.

Két sokszög egybevágó, ha úgy feleltethetők meg egymásnak, hogy...
   (1) ... a megfelelő oldalaik és megfelelő átlóik hossza egyenlő;
   (2) ... a megfelelő oldalaik hossza és a megfelelő szögeik nagysága egyenlő.

Két gömb egybevágó, ha sugaraik hossza egyenlő.

Két kocka egybevágó, ha oldaléleik hossza egyenlő.

Valamennyi egybevágósági transzformáció távolságtartó, egyenestartó, szakasztartó és szögtartó.

Identitásnak nevezzük azt a geometriai transzformációt, amely minden ponthoz önmagát rendeli.

Tengelyes tükrözésnek nevezzük azt a geometriai transzformációt, amely egy adott t egyenes minden pontjának önmagát rendeli, és a sík minden más P pontjához úgy rendeli P' pontot, hogy a PP' szakasz felező merőlegese a t tengely.

Középpontos tükrözésnek nevezzük azt a geometriai transzformációt, amely a sík egy adott O pontjának önmagát rendeli, és a sík minden más P pontjához úgy rendeli P' pontot, hogy a PP' szakasz felezőpontja az O pont.

Eltolásnak nevezzük azt a geometriai transzformációt, amely minden P ponthoz úgy rendeli P' pontot, hogy a PP' szakasz megegyezik egy adott vektorral.

Thálesz-tétel:
Ha egy kör átmérőjének két végpontját összekötjük a kör bármely pontjával, akkor derékszöget kapunk.

Thálesz-tétel megfordítása:
A síkon azoknak a pontoknak a halmaza, amelyekből egy adott AB szakasz derékszög alatt látszik, az AB átmérőjű kör, kivéve az AB szakasz két végpontját.

Párhuzamos szelő tétele:
Ha egy szög szárait párhuzamos egyenesekkel metszik, akkor az egyik szakaszon keletkezett szakaszok aránya megegyezik a másik száron keletkezett szakaszok arányával.

Párhuzamosszelő tétel megfordítása:
Ha két egyenes egy szög száraiból olyan szakaszokat vág le, amelyeknek aránya mindkét száron egyenlő, akkor a két egyenes párhuzamos.

Párhuzamosszelő szakaszok tétele:
Egy szög szárait metsző párhuzamosokból a szárak által kimetszett szakaszok aránya megegyezik a párhuzamosok által az egyik szárból kimetszett szakaszok arányával.